pepangkatan
A. Cara Menghitung Pangkat
Secara matematis perpangkatan bilangan dapat dituliskan sebagai berikut,
an = a × a × a × ... × a sebanyak n kali a adalah bilangan yang dipangkatkan (bilangan pokok) n adalah pangkat (eksponen) dengan n adalah bilangan bulat positif Contoh: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 Operasi di atas dibaca "dua pangkat tiga" 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 Operasi di atas dibaca "tiga pangkat empat"
Catatan: Di tingkat yang lebih tinggi, nilai pangkat tidak hanya menggunakan bilangan bulat positif. Untuk menyelesaikannya diperlukan pemahaman mengenai sifat-sifat bilangan berpangkat lebih lanjut.
B. Sifat Perpangkatan
1. Semua Bilangan Pangkat 0 = 1
Berdasarkan konsep dasar, semua bilangan yang dipangkatkan 0 mempunyai hasil 1.
00 = 1 10 = 1 20 = 1
Mengapa hal ini dapat terjadi?
Sebenarnya pembuktian ini memerlukan penjelasan teoritis yang lebih rumit, namun di sini akan dipaparkan secara sederhana dengan sifat pembagian bilangan berpangkat.
Misalnya 40 = 1 40 sama dengan operasi pembagian berikut: Dengan mengambil sembarang pangkat bilangan bulat, misalnya 2 40 = = 42-2 = 42 : 42 = 16 : 16 = 1
2. Perkalian Bilangan Berpangkat
Jika p merupakan bilangan pokok, dan m, n merupakan pangkat. Dengan p, m, n merupakan bilangan real berlaku,
Catatan: Sifat khusus berikut berlaku pada operasi antar bilangan berpangkat apabila bilangan pokok masing-masing bernilai sama.
pm × pn = pm + n Contoh: 32 × 34 = 32 + 4 = 36 = 729
Mengapa hal ini dapat terjadi?
Secara matematis, operasi bilangan berpangkat di atas dapat dituliskan
Secara matematis 32 × 34 = (3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3) = 36 = 729 Perhitungan biasa menghasilkan hasil yang sama 32 × 34 = 9 × 81 = 729
3. Pembagian Bilangan Berpangkat
Jika p merupakan bilangan pokok, dan m, n merupakan pangkat. Dengan p, m, n merupakan bilangan real berlaku,
Baca juga: Cara Menghitung Pembagian Bersusun
Catatan: Sifat khusus berikut berlaku pada operasi antar bilangan berpangkat apabila bilangan pokok masing-masing bernilai sama.
pm : pn = pm - n Contoh: 34 : 32 = 34 - 2 = 32 = 9
Mengapa hal ini dapat terjadi?
Secara matematis 34 : 32 = (3 × 3 × 3 × 3) : (3 × 3) = (3 × 3) = 9 Perhitungan biasa menghasilkan hasil yang sama 34 × 32 = 81 : 9 = 9
4. Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Jika p merupakan bilangan pokok, dan m, n merupakan pangkat. Dengan p, m, n merupakan bilangan real berlaku,
(pm)n = pm × n Contoh: (42)3 = 42 × 3 = 46 = 4096
Mengapa hal ini dapat terjadi?
Secara matematis (42)3 = 42 × 42 × 42 = 42 + 2 + 2 = 46 = 4096 Perhitungan biasa (42)3 = (16)3 = 4096
5. Bilangan dengan Pangkat Negatif
Secara matematis bilangan dengan pangkat negatif dapat dirumuskan sebagai berikut,
A. Cara Menghitung Pangkat
Secara matematis perpangkatan bilangan dapat dituliskan sebagai berikut,
an = a × a × a × ... × a sebanyak n kali a adalah bilangan yang dipangkatkan (bilangan pokok) n adalah pangkat (eksponen) dengan n adalah bilangan bulat positif Contoh: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 Operasi di atas dibaca "dua pangkat tiga" 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 Operasi di atas dibaca "tiga pangkat empat"
Catatan: Di tingkat yang lebih tinggi, nilai pangkat tidak hanya menggunakan bilangan bulat positif. Untuk menyelesaikannya diperlukan pemahaman mengenai sifat-sifat bilangan berpangkat lebih lanjut.
B. Sifat Perpangkatan
1. Semua Bilangan Pangkat 0 = 1
Berdasarkan konsep dasar, semua bilangan yang dipangkatkan 0 mempunyai hasil 1.
00 = 1 10 = 1 20 = 1
Mengapa hal ini dapat terjadi?
Sebenarnya pembuktian ini memerlukan penjelasan teoritis yang lebih rumit, namun di sini akan dipaparkan secara sederhana dengan sifat pembagian bilangan berpangkat.
Misalnya 40 = 1 40 sama dengan operasi pembagian berikut: Dengan mengambil sembarang pangkat bilangan bulat, misalnya 2 40 = = 42-2 = 42 : 42 = 16 : 16 = 1
2. Perkalian Bilangan Berpangkat
Jika p merupakan bilangan pokok, dan m, n merupakan pangkat. Dengan p, m, n merupakan bilangan real berlaku,
Catatan: Sifat khusus berikut berlaku pada operasi antar bilangan berpangkat apabila bilangan pokok masing-masing bernilai sama.
pm × pn = pm + n Contoh: 32 × 34 = 32 + 4 = 36 = 729
Mengapa hal ini dapat terjadi?
Secara matematis, operasi bilangan berpangkat di atas dapat dituliskan
Secara matematis 32 × 34 = (3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3) = 36 = 729 Perhitungan biasa menghasilkan hasil yang sama 32 × 34 = 9 × 81 = 729
3. Pembagian Bilangan Berpangkat
Jika p merupakan bilangan pokok, dan m, n merupakan pangkat. Dengan p, m, n merupakan bilangan real berlaku,
Baca juga: Cara Menghitung Pembagian Bersusun
Catatan: Sifat khusus berikut berlaku pada operasi antar bilangan berpangkat apabila bilangan pokok masing-masing bernilai sama.
pm : pn = pm - n Contoh: 34 : 32 = 34 - 2 = 32 = 9
Mengapa hal ini dapat terjadi?
Secara matematis 34 : 32 = (3 × 3 × 3 × 3) : (3 × 3) = (3 × 3) = 9 Perhitungan biasa menghasilkan hasil yang sama 34 × 32 = 81 : 9 = 9
4. Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Jika p merupakan bilangan pokok, dan m, n merupakan pangkat. Dengan p, m, n merupakan bilangan real berlaku,
(pm)n = pm × n Contoh: (42)3 = 42 × 3 = 46 = 4096
Mengapa hal ini dapat terjadi?
Secara matematis (42)3 = 42 × 42 × 42 = 42 + 2 + 2 = 46 = 4096 Perhitungan biasa (42)3 = (16)3 = 4096
5. Bilangan dengan Pangkat Negatif
Secara matematis bilangan dengan pangkat negatif dapat dirumuskan sebagai berikut,
6. Bilangan dengan Pangkat Pecahan
Secara matematis bilangan dengan pangkat pecahan dapat dirumuskan sebagai berikut,
Untuk menyelesaikan bilangan dengan pangkat pecahan, perlu diketahui mengenai operasi akar bilangan.
Sekilas Operasi Akar
Operasi akar adalah kebalikan dari operasi perpangkatan atau dalam ilmu matematika disebut invers dari perpangkatan.
Baca selengkapnya: Cara Menghitung Akar Pangkat 2
Contoh: Akar pangkat 2 √144 = 12 Karena 12² = 12 × 12 = 144 Contoh: Akar pangkat 3 ³√1000 = 10 Karena 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000
C. Tabel Perpangkatan 2, 3, dan 4
| Pangkat 2 | Pangkat 3 | Pangkat 4 |
| 1² = 1 | 1³ = 1 | 1⁴ = 1 |
| 2² = 4 | 2³ = 8 | 2⁴ = 16 |
| 3² = 9 | 3³ = 27 | 3⁴ = 81 |
| 4² = 16 | 4³ = 64 | 4⁴ = 256 |
| 5² = 25 | 5³ = 125 | 5⁴ = 625 |
| 6² = 36 | 6³ = 216 | 6⁴ = 1296 |
| 7² = 49 | 7³ = 343 | 7⁴ = 2401 |
| 8² = 64 | 8³ = 512 | 8⁴ = 4096 |
| 9² = 81 | 9³ = 729 | 9⁴ = 6561 |
| 10² = 100 | 10³ = 1000 | 10⁴ = 10000 |
6. Bilangan dengan Pangkat Pecahan
Secara matematis bilangan dengan pangkat pecahan dapat dirumuskan sebagai berikut,
Untuk menyelesaikan bilangan dengan pangkat pecahan, perlu diketahui mengenai operasi akar bilangan.
Sekilas Operasi Akar
Operasi akar adalah kebalikan dari operasi perpangkatan atau dalam ilmu matematika disebut invers dari perpangkatan.
Baca selengkapnya: Cara Menghitung Akar Pangkat 2
Contoh: Akar pangkat 2 √144 = 12 Karena 12² = 12 × 12 = 144 Contoh: Akar pangkat 3 ³√1000 = 10 Karena 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000
C. Tabel Perpangkatan 2, 3, dan 4
| Pangkat 2 | Pangkat 3 | Pangkat 4 |
| 1² = 1 | 1³ = 1 | 1⁴ = 1 |
| 2² = 4 | 2³ = 8 | 2⁴ = 16 |
| 3² = 9 | 3³ = 27 | 3⁴ = 81 |
| 4² = 16 | 4³ = 64 | 4⁴ = 256 |
| 5² = 25 | 5³ = 125 | 5⁴ = 625 |
| 6² = 36 | 6³ = 216 | 6⁴ = 1296 |
| 7² = 49 | 7³ = 343 | 7⁴ = 2401 |
| 8² = 64 | 8³ = 512 | 8⁴ = 4096 |
| 9² = 81 | 9³ = 729 | 9⁴ = 6561 |
| 10² = 100 | 10³ = 1000 | 10⁴ = 10000 |
Komentar
Posting Komentar